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第4题

给定平面 π\pi、平面 PP 内一点 π\pi 和平面 QQ 外一点 π\pi。求平面 RR 内使比值 π\pi 最大的所有点 QP+PRQR\dfrac{QP+PR}{QR}。
第 5/5 步：说明所有极值点
上一步下一步
P≠X: ∠RQS=90∘;P=X: PR=PQP\ne X:\ \angle RQS=90^\circ;\qquad P=X:\ PR=PQ
详细分析

当 P≠XP\ne X 时，射线 PXPX 上满足直角条件的点 RR 唯一。当 P=XP=X 时设 h=PQh=PQ，比值为 h+PRh2+PR2\frac{h+PR}{\sqrt{h^2+PR^2}}，恰在 PR=hPR=h 时最大。因此平面 π\pi 内以 PP 为圆心、PQPQ 为半径的圆上每点都是极值点。