国际数学奥林匹克 · 1979年

试题

第1题设正整数 $p$ 和 $q$ 满足 $\dfrac pq=1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots-\dfrac1{1318}+\dfrac1{1319}$ 。证明 $p$ 能被 $1979$ 整除。解法: 1
第2题给定一个棱柱，其上下底面为五边形 $A_1A_2A_3A_4A_5$ 和 $B_1B_2B_3B_4B_5$ 。两个五边形的每条边以及每条线段 $A_iB_j$ 都染成红色或绿色。每个顶点三角形若三边都已染色，则有两条边颜色不同。证明上下底面的10条边颜色相同。解法: 1
第3题平面内两圆相交，设交点之一为 $A$ 。两个点同时从 $A$ 出发，以恒速沿各自圆周同向运动，并在一周后同时回到 $A$ 。证明存在平面内固定点 $P$ ，使任意时刻 $P$ 到两运动点的距离相等。解法: 1
第4题给定平面 $\pi$ 、平面 $P$ 内一点 $\pi$ 和平面 $Q$ 外一点 $\pi$ 。求平面 $R$ 内使比值 $\pi$ 最大的所有点 $\dfrac{QP+PR}{QR}$ 。解法: 1
第5题求所有实数 $a$ ，使存在非负实数 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 满足 $\sum_{k=1}^5kx_k=a$ 、 $\sum_{k=1}^5k^3x_k=a^2$ 、 $\sum_{k=1}^5k^5x_k=a^3$ 。解法: 1
第6题设 A,E 是正八边形的对顶点。青蛙从 A 出发，跳到相邻顶点，抵达 E 后停止。若恰好跳 n 步到达 E 的路径数为 a_n，证明 $a_{2n-1}=0$ 且 $a_{2n}=\frac{(2+\sqrt{2})^{n-1}-(2-\sqrt{2})^{n-1}}{\sqrt{2}}$ ，其中 $n=1,2,3,\ldots$ 。解法: 1