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国际数学奥林匹克
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1979年
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第5题
第5题
求所有实数
a
a
a
，使存在非负实数
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
x_1,x_2,x_3,x_4,x_5
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
满足
∑
k
=
1
5
k
x
k
=
a
\sum_{k=1}^5kx_k=a
∑
k
=
1
5
k
x
k
=
a
、
∑
k
=
1
5
k
3
x
k
=
a
2
\sum_{k=1}^5k^3x_k=a^2
∑
k
=
1
5
k
3
x
k
=
a
2
、
∑
k
=
1
5
k
5
x
k
=
a
3
\sum_{k=1}^5k^5x_k=a^3
∑
k
=
1
5
k
5
x
k
=
a
3
。
第 3/4 步：将 a 限制为五个平方数
上一步
下一步
x
k
>
0
⟹
a
=
k
2
x_k>0\Longrightarrow a=k^2
x
k
>
0
⟹
a
=
k
2
详细分析
对于 x_k 为正的指标，平方因子必须为0，所以 a=k^2。若所有 x_k 都为0，则第一式给出 a=0；否则 a 是 k=1,2,3,4,5 的五个平方之一。
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