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国际数学奥林匹克
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1979年
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第6题
第6题
设 A,E 是正八边形的对顶点。青蛙从 A 出发，跳到相邻顶点，抵达 E 后停止。若恰好跳 n 步到达 E 的路径数为 a_n，证明
a
2
n
−
1
=
0
a_{2n-1}=0
a
2
n
−
1
=
0
且
a
2
n
=
(
2
+
2
)
n
−
1
−
(
2
−
2
)
n
−
1
2
a_{2n}=\frac{(2+\sqrt{2})^{n-1}-(2-\sqrt{2})^{n-1}}{\sqrt{2}}
a
2
n
=
2
(
2
+
2
)
n
−
1
−
(
2
−
2
)
n
−
1
，其中
n
=
1
,
2
,
3
,
…
n=1,2,3,\ldots
n
=
1
,
2
,
3
,
…
。
第 2/5 步：第2步
上一步
下一步
u
n
=
a
2
n
,
u
1
=
0
,
u
2
=
2
,
u
3
=
8
u_n=a_{2n},\quad u_1=0,\ u_2=2,\ u_3=8
u
n
=
a
2
n
,
u
1
=
0
,
u
2
=
2
,
u
3
=
8
详细分析
令
u
n
=
a
2
n
u_n=a_{2n}
u
n
=
a
2
n
。直接枚举得到
u
1
=
0
,
u
2
=
2
,
u
3
=
8
u_1=0,u_2=2,u_3=8
u
1
=
0
,
u
2
=
2
,
u
3
=
8
。
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