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第6题

设 A,E 是正八边形的对顶点。青蛙从 A 出发，跳到相邻顶点，抵达 E 后停止。若恰好跳 n 步到达 E 的路径数为 a_n，证明 a2n−1=0a_{2n-1}=0 且 a2n=(2+2)n−1−(2−2)n−12a_{2n}=\frac{(2+\sqrt{2})^{n-1}-(2-\sqrt{2})^{n-1}}{\sqrt{2}}，其中 n=1,2,3,…n=1,2,3,\ldots。
第 4/5 步：第4步
上一步下一步
r2−4r+2=0,r=2±2r^2-4r+2=0,\quad r=2\pm\sqrt2
详细分析

特征方程为 r2−4r+2=0r^2-4r+2=0，根为 2±22\pm\sqrt2，因此 un=C(2+2)n−1+D(2−2)n−1u_n=C(2+\sqrt2)^{n-1}+D(2-\sqrt2)^{n-1}。