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第1题

设 PP 是给定三角形 ABCABC 内部的一点，DD, EE, FF 分别是从 PP 向直线 BCBC, CACA, ABAB 所作垂线的垂足。求使得 BCPD+CAPE+ABPF\dfrac{BC}{PD} + \dfrac{CA}{PE} + \dfrac{AB}{PF} 取最小值的所有 PP 的位置。
第 1/5 步：通过 PP 分割三角形的面积
上一步下一步
通俗地说

无论站在三角形内部何处，向三边所作的三条高总能拼出相同的总面积——这一固定的“预算”正是柯西–施瓦茨不等式要利用的东西。

SABC=12(BC⋅PD+CA⋅PE+AB⋅PF)S_{ABC} = \tfrac12\big(BC\cdot PD + CA\cdot PE + AB\cdot PF\big)
详细分析

把 PP 与三个顶点相连，将 △ABC\triangle ABC 分成 △PBC,△PCA,△PAB\triangle PBC,\triangle PCA,\triangle PAB，由于 PD,PE,PFPD,PE,PF 是相应的高，它们的面积分别为 12BC⋅PD\tfrac12 BC\cdot PD、12CA⋅PE\tfrac12 CA\cdot PE、12AB⋅PF\tfrac12 AB\cdot PF。三者之和是与 PP 在三角形内部位置无关的定值 SABCS_{ABC}。