MathLabs

第1题

设 PP 是给定三角形 ABCABC 内部的一点,DD, EE, FF 分别是从 PP 向直线 BCBC, CACA, ABAB 所作垂线的垂足。求使得 BCPD+CAPE+ABPF\dfrac{BC}{PD} + \dfrac{CA}{PE} + \dfrac{AB}{PF} 取最小值的所有 PP 的位置。
第 2/5 步:记录这个常数和
BC⋅PD+CA⋅PE+AB⋅PF=2SABC(constant)BC\cdot PD + CA\cdot PE + AB\cdot PF = 2S_{ABC}\quad(\text{constant})
详细分析

第 1 步表明,加权和 BC⋅PD+CA⋅PE+AB⋅PFBC\cdot PD + CA\cdot PE + AB\cdot PF 在 PP 于三角形内移动时始终不变,恒等于 2SABC2S_{ABC}。