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国际数学奥林匹克
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1981年
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第1题
第1题
设
P
P
P
是给定三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
内部的一点，
D
D
D
,
E
E
E
,
F
F
F
分别是从
P
P
P
向直线
B
C
BC
B
C
,
C
A
CA
C
A
,
A
B
AB
A
B
所作垂线的垂足。求使得
B
C
P
D
+
C
A
P
E
+
A
B
P
F
\dfrac{BC}{PD} + \dfrac{CA}{PE} + \dfrac{AB}{PF}
P
D
B
C
+
P
E
C
A
+
P
F
A
B
取最小值的所有
P
P
P
的位置。
第 4/5 步：除以常数面积和
上一步
下一步
B
C
P
D
+
C
A
P
E
+
A
B
P
F
≥
(
A
B
+
B
C
+
C
A
)
2
2
S
A
B
C
\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF} \ge \frac{(AB+BC+CA)^2}{2S_{ABC}}
P
D
B
C
+
P
E
C
A
+
P
F
A
B
≥
2
S
A
B
C
(
A
B
+
B
C
+
C
A
)
2
详细分析
由于柯西–施瓦茨不等式左边第一个因子等于第 2 步中的常数
2
S
A
B
C
2S_{ABC}
2
S
A
B
C
，两边同除以它，就把不等式化为所要最小化的量的一个明确固定下界。
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