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第1题

设 PP 是给定三角形 ABCABC 内部的一点，DD, EE, FF 分别是从 PP 向直线 BCBC, CACA, ABAB 所作垂线的垂足。求使得 BCPD+CAPE+ABPF\dfrac{BC}{PD} + \dfrac{CA}{PE} + \dfrac{AB}{PF} 取最小值的所有 PP 的位置。
第 5/5 步：确定等号成立的情形
上一步下一步
PD=PE=PF  ⟺  P=I (the incenter)PD = PE = PF \iff P = I \text{ (the incenter)}
详细分析

柯西–施瓦茨的等号恰好在 PD=PE=PFPD=PE=PF 时成立，即 PP 到三边等距时。到三边所在直线等距的点是内心与三个旁心；其中只有内心位于三角形内部，因此最小值仅在 P=IP=I 处取得。

常见错误. 三个旁心在到边所在直线的距离意义下同样满足 PD=PE=PFPD=PE=PF，但它们位于 △ABC\triangle ABC 外部，因此“PP 在三角形内部”这一条件正是排除旁心、只留下内心的关键。