巧妙选取的双射能把繁琐的加权和转化为对组合对象的简洁计数。
考虑长度为 n+1n+1n+1 且恰好含有 r+1r+1r+1 个数字 1 的二进制串。对 1≤k≤n1 \le k \le n1≤k≤n，若第二个 111 出现在位置 k+1k+1k+1，则把前面的唯一一个 111 放在前 kkk 个位置中的方法数为 (k1)\binom{k}{1}(1k)，把剩余的 r−1r-1r−1 个数字 1 放在位置 k+1k+1k+1 之后的方法数为 (n−kr−1)\binom{n-k}{r-1}(r−1n−k)。