第2题

设

n

和

r

是满足

1 \le r \le n

的整数，考虑集合

\{1,2,\dots,n\}

的所有

r

元子集（共

\binom{n}{r}

个）。每个这样的子集都有一个最小元素。设

F(n,r)

为这些最小元素的算术平均值。证明

F(n,r) = \frac{n+1}{r+1}.

第 4/5 步：构造算术平均值

F(n,r) = \frac{\sum_{S}\min(S)}{\binom{n}{r}} = \frac{\binom{n+1}{r+1}}{\binom{n}{r}}

详细分析

子集总数为 $\binom{n}{r}$ ，将第 3 步得到的总和除以 $\binom{n}{r}$ ，即得最小元素的平均值 $F(n,r)$ 。