第2题

设

n

和

r

是满足

1 \le r \le n

的整数，考虑集合

\{1,2,\dots,n\}

的所有

r

元子集（共

\binom{n}{r}

个）。每个这样的子集都有一个最小元素。设

F(n,r)

为这些最小元素的算术平均值。证明

F(n,r) = \frac{n+1}{r+1}.

第 5/5 步：化简二项式系数之比

\frac{\binom{n+1}{r+1}}{\binom{n}{r}} = \frac{\frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!}}{\frac{n!}{r!(n-r)!}} = \frac{n+1}{r+1}

详细分析

用阶乘展开两个二项式系数，并约去 $n!/(n-r)!$ 与 $r!/(r+1)!=1/(r+1)$ ，恰好剩下 $\frac{n+1}{r+1}$ ，从而证明了 $F(n,r)$ 的公式。