把加权和 ∑j aj\sum j\,a_j∑jaj 改写成尾和之和 ∑i∑j≥iaj\sum_i \sum_{j\ge i} a_j∑i∑j≥iaj 是把权重转化为重复区间的标准技巧，为使用曲棍球棒恒等式做好准备。
按列而非按项来读这个三角形和，(n−jr−1)\binom{n-j}{r-1}(r−1n−j) 上的权重 jjj 可以通过对每个 i≤ji \le ji≤j 都写一次相同的二项式系数来吸收，从而产生 n−r+1n-r+1n−r+1 个内部和，每个都是下指标同为 r−1r-1r−1 的一串连续二项式系数。