由曲棍球棒恒等式 ∑k=r−1m(kr−1)=(m+1r)\sum_{k=r-1}^{m}\binom{k}{r-1}=\binom{m+1}{r}∑k=r−1m(r−1k)=(rm+1)，每个内部序列都化简为单个二项式系数 (n−i+1r)\binom{n-i+1}{r}(rn−i+1)。