第2题

设

n

和

r

是满足

1 \le r \le n

的整数，考虑集合

\{1,2,\dots,n\}

的所有

r

元子集（共

\binom{n}{r}

个）。每个这样的子集都有一个最小元素。设

F(n,r)

为这些最小元素的算术平均值。证明

F(n,r) = \frac{n+1}{r+1}.

第 5/6 步：再次运用曲棍球棒恒等式

\sum_{i=1}^{n-r+1}\binom{n-i+1}{r} = \binom{n}{r}+\binom{n-1}{r}+\cdots+\binom{r}{r} = \binom{n+1}{r+1}

详细分析

把第 4 步中化简得到的各行按 $i=1,\dots,n-r+1$ 求和，得到 $\binom{r}{r}+\binom{r+1}{r}+\cdots+\binom{n}{r}$ ，再次运用曲棍球棒恒等式将其化简为 $\binom{n+1}{r+1}$ 。