第2题

设

n

和

r

是满足

1 \le r \le n

的整数，考虑集合

\{1,2,\dots,n\}

的所有

r

元子集（共

\binom{n}{r}

个）。每个这样的子集都有一个最小元素。设

F(n,r)

为这些最小元素的算术平均值。证明

F(n,r) = \frac{n+1}{r+1}.

第 6/6 步：除以子集的总数

F(n,r) = \frac{\binom{n+1}{r+1}}{\binom{n}{r}} = \frac{n+1}{r+1}

详细分析

将第 5 步中的总和 $\binom{n+1}{r+1}$ 除以子集总数 $\binom{n}{r}$ ，即得平均值 $F(n,r)$ ，其化简结果与解法 1 完全相同，为 $\frac{n+1}{r+1}$ 。