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第3题

求 m2+n2m^2+n^2 的最大值，其中 mm 和 nn 是满足 m,n∈{1,2,…,1981}m, n \in \{1, 2, \ldots, 1981\} 且 (n2−mn−m2)2=1(n^2-mn-m^2)^2 = 1 的整数。
第 1/6 步：关于 m,nm,n 的基本约束
上一步下一步
通俗地说

在寻找极值对之前，先确定每个解必须具备的形状：互质，且第二个分量不小于第一个。

(n2−mn−m2)2=1  ⟹  gcd⁡(m,n)=1 and n≥m(n^2-mn-m^2)^2=1 \implies \gcd(m,n)=1 \text{ and } n\ge m
详细分析

若 m,nm,n 有公共素因子，则其平方会整除 n2−mn−m2n^2-mn-m^2，这与该量为 ±1\pm1 矛盾；故 gcd⁡(m,n)=1\gcd(m,n)=1。若 n<mn<m，则 n(n−m)−m2≤−n−m2≤−2n(n-m)-m^2\le -n-m^2\le -2，这与 n2−mn−m2=±1n^2-mn-m^2=\pm1 矛盾。因此每个正整数解都满足 n≥mn\ge m。