第4题

(a) 对哪些整数

n>2

，存在

n

个连续正整数组成的集合，使得集合中最大的数是其余

n-1

个数的最小公倍数的因数？(b) 对哪些整数

n>2

，恰好存在一个这样的集合？

第 2/5 步：运用伯特兰假设

通俗地说

伯特兰假设是保证在大约为自身一半宽度的区间内存在素数的经典工具——这正是在 $n$ 个连续整数的窗口中放置一个素数所需要的。

n>5: \exists \text{ prime } p \text{ with } \left\lfloor \tfrac n2 \right\rfloor < p < 2\left\lfloor \tfrac n2\right\rfloor, \text{ so } p<n\le 2p

详细分析

伯特兰假设保证在 $\lfloor n/2\rfloor$ 与 $2\lfloor n/2\rfloor$ 之间严格存在一个素数；改写这些界限可知该素数 $p$ 满足 $p<n\le 2p$ 。