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第4题

(a) 对哪些整数 n>2n>2,存在 nn 个连续正整数组成的集合,使得集合中最大的数是其余 n−1n-1 个数的最小公倍数的因数?(b) 对哪些整数 n>2n>2,恰好存在一个这样的集合?
第 3/5 步:n>5n>5 时的第一个可行集合
m=2p:2p∣lcm(2p−1,…,2p−n+1)m=2p: \quad 2p \mid \mathrm{lcm}(2p-1,\dots,2p-n+1)
详细分析

由于 n−1≥pn-1\ge p,当 m=2pm=2p 时窗口 {m−1,…,m−n+1}\{m-1,\dots,m-n+1\} 中含有 pp 的倍数(连同其中也存在的 22 的倍数,即得 2p2p 的倍数)、33 的倍数以及 22 的倍数,因此它们的最小公倍数能被 2p2p 整除,使 m=2pm=2p 成为一个有效的最大元素。