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第6题

函数 f(x,y)f(x,y) 对所有非负整数 x,yx,y 满足 f(0,y)=y+1,f(0,y) = y+1, f(x+1,0)=f(x,1),f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))f(x+1,y+1) = f\big(x, f(x+1,y)\big) 求 f(4,1981)f(4,1981)。
第 5/7 步：把 x=4x=4 层设置为幂塔形式
上一步下一步
f(4,0)+3=222=16,f(4,y+1)+3=2 f(4,y)+3f(4,0)+3 = 2^{2^{2}}=16,\quad f(4,y+1)+3 = 2^{\,f(4,y)+3}
详细分析

由规则 (2) 及第 4 步，f(4,0)=f(3,1)=21+3−3=13f(4,0)=f(3,1)=2^{1+3}-3=13，故 f(4,0)+3=16=222f(4,0)+3=16=2^{2^{2}}，即由三个 22 组成的幂塔（高度 0+3=30+3=3）。由规则 (3) 及第 4 步，f(4,y+1)=f(3,f(4,y))=2f(4,y)+3−3f(4,y+1)=f(3,f(4,y))=2^{f(4,y)+3}-3，故 f(4,y+1)+3=2f(4,y)+3f(4,y+1)+3=2^{f(4,y)+3}：yy 每增加一步，塔上就多加一个 22。