MathLabs

第3题

考虑由正实数组成的无穷数列 {xn}\{x_n\}，满足 x0=1x_0=1 以及 x0≥x1≥x2≥⋯x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots。(a) 证明：对每个这样的数列，都存在某个 n≥1n\ge1，使得 Sn=x02x1+x12x2+⋯+xn−12xn≥3.999S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999。(b) 求出一个这样的数列，使得对所有 nn 都有 Sn<4S_n<4。
第 1/4 步：应用柯西不等式
上一步下一步
通俗地说

许多分式合并为两个简单和的比值。

Sn=∑i=1nxi−12xi≥(x0+⋯+xn−1)2x1+⋯+xnS_n=\sum_{i=1}^n\frac{x_{i-1}^2}{x_i}\ge\frac{(x_0+\cdots+x_{n-1})^2}{x_1+\cdots+x_n}
详细分析

柯西不等式的 Engel 形式给出所示下界。