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第1题

函数 f(n)f(n) 定义在正整数集上,取非负整数值。f(2)=0f(2)=0,f(3)>0f(3)>0,f(9999)=3333f(9999)=3333,且对一切 m,nm,n 都有 f(m+n)−f(m)−f(n)=0 or 1.f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ or } 1. 求 f(1982)f(1982)。
第 2/7 步：附加条件确定 f(3)f(3)
上一步下一步
通俗地说

已知 ff 最小的两个值后,下一个值几乎是被迫确定的——只需再用 f(3)>0f(3)>0 在两种可能中做出选择。

f(3)−f(2)−f(1)∈{0,1} ⇒ f(3)∈{0,1} ⇒ f(3)=1f(3)-f(2)-f(1)\in\{0,1\} \ \Rightarrow\ f(3)\in\{0,1\} \ \Rightarrow\ f(3)=1
详细分析

取 m=2,n=1m=2,n=1 代入函数条件:f(3)−f(2)−f(1)∈{0,1}f(3)-f(2)-f(1)\in\{0,1\}。由 f(2)=f(1)=0f(2)=f(1)=0 得 f(3)∈{0,1}f(3)\in\{0,1\};再由 f(3)>0f(3)>0 即得 f(3)=1f(3)=1。