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第1题

函数 f(n)f(n) 定义在正整数集上,取非负整数值。f(2)=0f(2)=0,f(3)>0f(3)>0,f(9999)=3333f(9999)=3333,且对一切 m,nm,n 都有 f(m+n)−f(m)−f(n)=0 or 1.f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ or } 1. 求 f(1982)f(1982)。
第 6/7 步：把超可加性放大三倍以排除 661661
上一步下一步
通俗地说

同一种夹逼手法——曾用来确定较小 f(3k)f(3k) 时的 kk——再次出现,通过与一个已知精确值的三倍下标比较,排除了剩余两个候选值中较大的那个。

f(3n)=f(n+n+n)≥f(n)+f(2n)≥f(n)+f(n)+f(n)=3f(n)f(3n)=f(n+n+n)\ge f(n)+f(2n)\ge f(n)+f(n)+f(n)=3f(n)
详细分析

对超可加性连用两次可得对一切 f(3n)≥3f(n)f(3n)\ge3f(n) 有 nn。取 n=1982n=1982:若 f(1982)=661f(1982)=661,则 f(5946)=f(3⋅1982)≥3⋅661=1983f(5946)=f(3\cdot1982)\ge3\cdot661=1983。但 1982≤33331982\le3333,由第 3 步知精确值为 f(5946)=f(3⋅1982)=1982f(5946)=f(3\cdot1982)=1982,与 1982≥19831982\ge1983 矛盾。