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第2题

设不等腰三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的三边为 a1a_1、a2a_2、a3a_3,其中边 aia_i 与顶点 AiA_i 相对。设 MiM_i 为边 aia_i 的中点,TiT_i 为三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的内切圆与边 aia_i 的切点。设 SiS_i 为 TiT_i 关于角 AiA_i 的内角平分线的对称点。证明直线 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 共点。
第 1/8 步：关于顶点 A1A_1 的反射保持内切圆不变并交换两个切点
上一步下一步
通俗地说

内切圆在这里是天然的镜子:任何保持内心不动的反射都自动保持内切圆不动,所以切点只能变成同一圆上的另一个点。

T1→ reflect in A1I S1,T2⟷T3T_1 \xrightarrow{\ \text{reflect in } A_1I\ } S_1, \qquad T_2 \longleftrightarrow T_3
详细分析

设 II 为内心,ω\omega 为内切圆。关于角 A1A_1 内角平分线的反射保持 II 不动,从而保持 ω\omega 不动,并交换过 A1A_1 的两条边 A1A2A_1A_2 与 A1A3A_1A_3。按定义,该反射把 T1T_1 变为 S1S_1;由于它也交换了含有 T2T_2、T3T_3 的两条边,因此也把这两个切点互相交换。