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第2题

设不等腰三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的三边为 a1a_1、a2a_2、a3a_3,其中边 aia_i 与顶点 AiA_i 相对。设 MiM_i 为边 aia_i 的中点,TiT_i 为三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的内切圆与边 aia_i 的切点。设 SiS_i 为 TiT_i 关于角 AiA_i 的内角平分线的对称点。证明直线 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 共点。
第 2/8 步：两次反射得到 S1T3=S2T3S_1T_3=S_2T_3
上一步下一步
通俗地说

两次独立的反射用两种方式描述了同一条弦的长度,由此立即得到 SS 点与 TT 点之间的一个长度等式。

S1T3=T1T2(reflection in A1I),S2T3=T1T2(reflection in A2I)S_1T_3 = T_1T_2 \quad\text{(reflection in }A_1I\text{)}, \qquad S_2T_3 = T_1T_2 \quad\text{(reflection in }A_2I\text{)}
详细分析

由于反射保持 ω\omega 上弦的长度,第 1 步把弦 T1T2T_1T_2 变为弦 S1T3S_1T_3,故 S1T3=T1T2S_1T_3=T_1T_2。同理,关于角 A2A_2 平分线的反射保持 ω\omega 不动,把 T2T_2 变为 S2S_2 并交换 T1↔T3T_1\leftrightarrow T_3,把弦 T1T2T_1T_2 变为弦 T3S2T_3S_2,故 S2T3=T1T2S_2T_3=T_1T_2。因此 S1T3=S2T3S_1T_3=S_2T_3。