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第2题

设不等腰三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的三边为 a1a_1、a2a_2、a3a_3,其中边 aia_i 与顶点 AiA_i 相对。设 MiM_i 为边 aia_i 的中点,TiT_i 为三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的内切圆与边 aia_i 的切点。设 SiS_i 为 TiT_i 关于角 AiA_i 的内角平分线的对称点。证明直线 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 共点。
第 3/8 步：两条弦相等使得 T3T_3 是弧的中点,从而 S1S2∥A1A2S_1S_2\parallel A_1A_2
上一步下一步
通俗地说

一个纯粹的圆的性质——弧中点处的切线与其弦平行——把一个代数上的长度等式转化成了我们真正需要的几何平行关系。

S1T3=S2T3 ⇒ T3 bisects arc S1S2 ⇒ S1S2∥A1A2S_1T_3=S_2T_3 \ \Rightarrow\ T_3 \text{ bisects arc } S_1S_2 \ \Rightarrow\ S_1S_2 \parallel A_1A_2
详细分析

S1T3=S2T3S_1T_3=S_2T_3 上两条弦相等 ω\omega 意味着 T3T_3 是弧 S1S2S_1S_2 的中点。ω\omega 在 T3T_3 处的切线正是边 A1A2A_1A_2(因为 T3T_3 按定义就是该边上的切点),而弧中点处的切线总与该弧所对的弦平行。因此 S1S2∥A1A2S_1S_2\parallel A_1A_2。