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第2题

设不等腰三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的三边为 a1a_1、a2a_2、a3a_3,其中边 aia_i 与顶点 AiA_i 相对。设 MiM_i 为边 aia_i 的中点,TiT_i 为三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的内切圆与边 aia_i 的切点。设 SiS_i 为 TiT_i 关于角 AiA_i 的内角平分线的对称点。证明直线 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 共点。
第 4/8 步：轮换论证:三组对应边都平行
上一步下一步
通俗地说

整个构型具有三重循环对称性,只需证明一组对应边平行,再重新标记下标,就能一次性证明全部三组。

S1S2∥M1M2,S2S3∥M2M3,S3S1∥M3M1S_1S_2\parallel M_1M_2, \quad S_2S_3\parallel M_2M_3, \quad S_3S_1\parallel M_3M_1
详细分析

由三角形中位线定理,M1M2∥A1A2M_1M_2\parallel A_1A_2(连接两边中点的线段平行于第三边),结合第 3 步得 S1S2∥M1M2S_1S_2\parallel M_1M_2。将下标循环替换为 (1,2,3)→(2,3,1)(1,2,3)\to(2,3,1) 及 (3,1,2)(3,1,2),重复第 1–3 步,即得 S2S3∥M2M3S_2S_3\parallel M_2M_3 与 S3S1∥M3M1S_3S_1\parallel M_3M_1。