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第2题

设不等腰三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的三边为 a1a_1、a2a_2、a3a_3,其中边 aia_i 与顶点 AiA_i 相对。设 MiM_i 为边 aia_i 的中点,TiT_i 为三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的内切圆与边 aia_i 的切点。设 SiS_i 为 TiT_i 关于角 AiA_i 的内角平分线的对称点。证明直线 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 共点。
第 5/8 步：对应边两两平行意味着两个三角形要么位似,要么互为平移
上一步下一步
通俗地说

三条边同时平行是一个很强的刚性条件:它只留下从某点缩放或平移这两种可能性。

△S1S2S3 and △M1M2M3 have pairwise parallel sides ⇒ homothetic or translates\triangle S_1S_2S_3 \text{ and } \triangle M_1M_2M_3 \text{ have pairwise parallel sides} \ \Rightarrow\ \text{homothetic or translates}
详细分析

有一个标准事实:若两个三角形的三组对应边分别两两平行,则其中一个是另一个在某个位似(比例可为负)或平移下的像。第 4 步恰好为 S1S2S3S_1S_2S_3 与 M1M2M3M_1M_2M_3(对应关系 Si↔MiS_i\leftrightarrow M_i)建立了这一前提。