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第2题

设不等腰三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的三边为 a1a_1、a2a_2、a3a_3,其中边 aia_i 与顶点 AiA_i 相对。设 MiM_i 为边 aia_i 的中点,TiT_i 为三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的内切圆与边 aia_i 的切点。设 SiS_i 为 TiT_i 关于角 AiA_i 的内角平分线的对称点。证明直线 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 共点。
第 6/8 步：比较外接圆半径:内切圆与九点圆
上一步下一步
通俗地说

不等腰这一条件正是在这里被用到:这是整个解答中唯一用到它的地方,而且是必不可少的——若三角形是等边三角形,这两个圆将重合,该论证就会失效(此时共点性在公共圆心处显然成立)。

r=circumradius of S1S2S3,R2=circumradius of M1M2M3,R>2rr = \text{circumradius of } S_1S_2S_3, \quad \tfrac{R}{2} = \text{circumradius of } M_1M_2M_3, \quad R>2r
详细分析

S1,S2,S3S_1,S_2,S_3 都在内切圆 ω\omega 上(第 1 步),所以半径为 ω\omega 的 rr 就是 △S1S2S3\triangle S_1S_2S_3 的外接圆。中点三角形 M1M2M3M_1M_2M_3 的外接圆是 △A1A2A3\triangle A_1A_2A_3 的九点圆,半径为 R/2R/2,其中 RR 是 △A1A2A3\triangle A_1A_2A_3 的外接半径。欧拉不等式给出 R≥2rR\ge 2r,等号仅当三角形为等边三角形时成立;由于 △A1A2A3\triangle A_1A_2A_3 明确是不等腰三角形(因而也不是等边三角形),故 R>2rR>2r 严格成立,从而 R/2≠rR/2\ne r。