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第2题

设不等腰三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的三边为 a1a_1、a2a_2、a3a_3,其中边 aia_i 与顶点 AiA_i 相对。设 MiM_i 为边 aia_i 的中点,TiT_i 为三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的内切圆与边 aia_i 的切点。设 SiS_i 为 TiT_i 关于角 AiA_i 的内角平分线的对称点。证明直线 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 共点。
第 7/8 步：半径不等排除了平移,只剩下真正的位似
上一步下一步
通俗地说

只需比较一个数值不变量(外接圆半径),就足以在几何分类中彻底排除一种情形(平移)。

R/2≠r ⇒ △S1S2S3 and △M1M2M3 are not congruent ⇒ the relation is a genuine homothetyR/2 \ne r \ \Rightarrow\ \triangle S_1S_2S_3 \text{ and } \triangle M_1M_2M_3 \text{ are not congruent} \ \Rightarrow\ \text{the relation is a genuine homothety}
详细分析

平移保持大小,因而会要求两个三角形全等,特别是外接圆半径相等。第 6 步表明半径 rr 与 R/2R/2 不相等,故平移不可能;由第 5 步,剩下的唯一可能就是某个比例 k≠1,−1k\ne 1,-1(此处 k=r/(R/2)≠±1k=r/(R/2)\ne \pm1)、某个中心 PP 的真正位似,把 △M1M2M3\triangle M_1M_2M_3 变为 △S1S2S3\triangle S_1S_2S_3,对应关系为 Mi↦SiM_i\mapsto S_i。