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第2题

设不等腰三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的三边为 a1a_1、a2a_2、a3a_3,其中边 aia_i 与顶点 AiA_i 相对。设 MiM_i 为边 aia_i 的中点,TiT_i 为三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 的内切圆与边 aia_i 的切点。设 SiS_i 为 TiT_i 关于角 AiA_i 的内角平分线的对称点。证明直线 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 共点。
第 8/8 步：位似中心正是共点
上一步下一步
通俗地说

这正是一开始就构造位似所带来的好处:通过中心的共点性是自动成立的,无需另作论证。

M1S1, M2S2, M3S3 concur at the center P of the homothetyM_1S_1,\ M_2S_2,\ M_3S_3 \text{ concur at the center } P \text{ of the homothety}
详细分析

根据以中心 PP 的位似的定义性质,任一点与其像都与 PP 共线:因为对 Mi↦SiM_i\mapsto S_i 都有 i=1,2,3i=1,2,3,所以每条直线 MiSiM_iS_i 都过 PP。因此 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 都经过 PP,即它们共点,命题得证。