MathLabs

第3题

考虑由正实数组成的无穷数列 {xn}\{x_n\}，满足 x0=1x_0=1 以及 x0≥x1≥x2≥⋯x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots。(a) 证明：对每个这样的数列，都存在某个 n≥1n\ge1，使得 Sn=x02x1+x12x2+⋯+xn−12xn≥3.999S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999。(b) 求出一个这样的数列，使得对所有 nn 都有 Sn<4S_n<4。
第 2/4 步：利用单调性
上一步下一步
通俗地说

单调性让我们用中间各项控制分母。

T=∑i=1n−1xi,xn≤Tn−1,Sn≥(1+T)2T+T/(n−1)=n−1n(1+T)2TT=\sum_{i=1}^{n-1}x_i,\quad x_n\le\frac{T}{n-1},\quad S_n\ge\frac{(1+T)^2}{T+T/(n-1)}=\frac{n-1}{n}\frac{(1+T)^2}{T}
详细分析

由于 x1≥⋯≥xnx_1\ge\cdots\ge x_n,末项不超过 x1,…,xn−1x_1,\ldots,x_{n-1} 的平均值。再用 x0=1x_0=1 得到该界。