MathLabs

第3题

考虑由正实数组成的无穷数列 {xn}\{x_n\}，满足 x0=1x_0=1 以及 x0≥x1≥x2≥⋯x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots。(a) 证明：对每个这样的数列，都存在某个 n≥1n\ge1，使得 Sn=x02x1+x12x2+⋯+xn−12xn≥3.999S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999。(b) 求出一个这样的数列，使得对所有 nn 都有 Sn<4S_n<4。
第 3/4 步：用均值不等式完成 (a)
上一步下一步
通俗地说

目标 3.9993.999 恰好低于极限常数 44。

(1+T)2T=T+2+1T≥4,Sn≥4n−1n\frac{(1+T)^2}{T}=T+2+\frac1T\ge4,\quad S_n\ge4\frac{n-1}{n}
详细分析

由均值不等式 T+1/T≥2T+1/T\ge2。故 Sn≥4(n−1)/nS_n\ge4(n-1)/n。当 n=4000n=4000 时右端为 3.9993.999,之后更大。