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第4题

证明：若正整数 nn 使方程 x3−3xy2+y3=nx^3-3xy^2+y^3=n 有一个整数解 (x,y)(x,y)，则至少有三个这样的解。证明当 n=2891n=2891 时方程没有整数解。
第 1/3 步：用 k=y−xk=y-x 改写表达式
上一步下一步
通俗地说

三次型中隐藏的三循环由坐标差揭示。

k=y−x⟹x3−3xy2+y3=k3−3kx2−x3k=y-x\quad\Longrightarrow\quad x^3-3xy^2+y^3=k^3-3kx^2-x^3
详细分析

代入 y=x+ky=x+k 并展开,方程变为 k3−3kx2−x3=nk^3-3kx^2-x^3=n。