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第4题

证明：若正整数 nn 使方程 x3−3xy2+y3=nx^3-3xy^2+y^3=n 有一个整数解 (x,y)(x,y)，则至少有三个这样的解。证明当 n=2891n=2891 时方程没有整数解。
第 2/3 步：生成三个解的循环
上一步下一步
通俗地说

有限阶对称把一个解变成含三个元素的轨道。

(x,y)↦(k,−x)↦(−x−k,−k)↦(x,y)(x,y)\mapsto(k,-x)\mapsto(-x-k,-k)\mapsto(x,y)
详细分析

改写后的方程表明 (k,−x)(k,-x) 也是解。再次应用同一规则得到 (−x−k,−k)(-x-k,-k),第三次回到 (x,y)(x,y)。若其中两个相等,则所有坐标都为 n=0n=0,从而 nn,与 矛盾;故三解互异。