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第4题

证明：若正整数 nn 使方程 x3−3xy2+y3=nx^3-3xy^2+y^3=n 有一个整数解 (x,y)(x,y)，则至少有三个这样的解。证明当 n=2891n=2891 时方程没有整数解。
第 3/3 步：模 n=2891n=2891 排除 77
上一步下一步
通俗地说

小模数发现被迫的公因子,而三次次数把它放大为不可能的整除性。

2891≡0(mod7),x3−3xy2+y3≡0(mod7)⟹x≡y≡0(mod7)2891\equiv0\pmod7,\quad x^3-3xy^2+y^3\equiv0\pmod7\Longrightarrow x\equiv y\equiv0\pmod7
详细分析

由于 2891=7⋅4132891=7\cdot413,任何解都应满足 x3−3xy2+y3≡0(mod7)x^3-3xy^2+y^3\equiv0\pmod7。检查七个剩余类(如来源所述)可知唯一可能是 x≡y≡0(mod7)x\equiv y\equiv0\pmod7。于是 77 同时整除 xx,三次式每一项都被 yy 整除,从而要求 737^3,矛盾。 73∣28917^3\mid2891