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第5题

正六边形 ABCDEFABCDEF 的对角线 ACAC 和 CECE 分别被内部点 MM、NN 分割，满足 AMAC=CNCE=r\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r。若 B,M,NB,M,N 共线，求 rr。
第 3/4 步：应用梅涅劳斯定理
上一步下一步
通俗地说

共线条件转化为关于唯一未知比的一个标量方程。

r1−r⋅4⋅r−1/21−r=1⟹3r2=1\frac{r}{1-r}\cdot4\cdot\frac{r-1/2}{1-r}=1\quad\Longrightarrow\quad3r^2=1
详细分析

由于 B,M,NB,M,N 共线,在三角形 CBECBE 中由梅涅劳斯定理三比之积为 11。代入第 2 步并化简得 4r(r−1/2)=(1−r)24r(r-1/2)=(1-r)^2,即 3r2=13r^2=1。