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第6题

设 SS 是边长为 100100 的正方形。设 LL 是位于 SS 内部的简单闭合折线，不自交，由线段 A0A1,A1A2,…,An−1AnA_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n 构成，且 A0=AnA_0=A_n。假设 SS 的边界上的每一点 PP 到 LL 上某一点的距离都不超过 1/21/2。证明 LL 上存在两点 X,YX,Y，其距离不超过 11，而 LL 在 XX 和 YY 之间的某一段长度至少为 198198。
第 4/5 步：保证两点相近
上一步下一步
通俗地说

两点都在 X′X' 的半单位邻域内,所以彼此距离至多一单位。

XY≤XX′+X′Y≤12+12=1XY\le XX'+X'Y\le\frac12+\frac12=1
详细分析

选取 L2L_2 上距 X′X' 不超过 1/21/2 的点 YY。由定义，XX 距 X′X' 也不超过 1/21/2，因此由三角不等式得到 XY≤1XY\le1。