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第6题

设 SS 是边长为 100100 的正方形。设 LL 是位于 SS 内部的简单闭合折线，不自交，由线段 A0A1,A1A2,…,An−1AnA_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n 构成，且 A0=AnA_0=A_n。假设 SS 的边界上的每一点 PP 到 LL 上某一点的距离都不超过 1/21/2。证明 LL 上存在两点 X,YX,Y，其距离不超过 11，而 LL 在 XX 和 YY 之间的某一段长度至少为 198198。
第 5/5 步：迫使中间路径很长
上一步下一步
通俗地说

从两侧到达 B′B' 都必须穿过几乎整个宽度,所以相近两点之间包围一段长绕行。

XB≥99,YB≥99⟹length⁡(LXY)≥198XB\ge99,\quad YB\ge99\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{length}(L_{XY})\ge198
详细分析

由于 BB 到 B′B' 的距离不超过 1/21/2，XX 到 X′X' 的距离不超过 1/21/2，且 X′B′≥99X'B'\ge99（边长为 100100，而 X′X' 位于远离 D′D' 的那条边上），故 XB≥X′B′−1≥99XB\ge X'B'-1\ge99。同理 YB≥99YB\ge99。因此 LL 上经过 BB 的那段从 XX 到 YY 的长度至少为 XB+BY≥198XB+BY\ge198。