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第4题

设 ABCABC 为等边三角形,E\mathcal E 为其三条边的并集。判断将 E\mathcal E 分成两个不交子集时,是否总有一个子集包含某个直角三角形的三个顶点,并说明理由。
第 1/5 步：正交投影引理
上一步下一步
X,Y same color on one side⇒their orthogonal projections must have the opposite colorX,Y\text{ same color on one side}\Rightarrow\text{their orthogonal projections must have the opposite color}
详细分析

假设不存在单色直角三角形。若同一边上的两点 X,YX,Y 同色,则另一边上任何能通过正交投影使 X,Y,ZX,Y,Z 成为直角三角形的点 ZZ 都不能取该色,否则三点构成禁忌的单色直角三角形。