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第1题

求所有定义在正实数集上、取正实数值的函数 ff,使其满足以下两个条件:(i) 对所有正实数 x,yx, y,都有 f(xf(y))=yf(x)f(xf(y)) = yf(x);(ii) 当 x→∞x \to \infty 时,f(x)→0f(x) \to 0。
第 2/6 步：ff 是单射
上一步下一步
f(a)=f(b)⇒a f(1)=b f(1)⇒a=bf(a)=f(b) \Rightarrow a\,f(1) = b\,f(1) \Rightarrow a=b
详细分析

若 f(a)=f(b)f(a)=f(b),再作用一次 ff 并利用第1步,得 af(1)=f(f(a))=f(f(b))=bf(1)a f(1) = f(f(a)) = f(f(b)) = b f(1);因为 f(1)>0f(1)>0,故 a=ba=b。所以 ff 是单射。