第1题

求所有定义在正实数集上、取正实数值的函数

f

,使其满足以下两个条件:(i) 对所有正实数

x, y

,都有

f(xf(y)) = yf(x)

;(ii) 当

x \to \infty

时,

f(x) \to 0

。

第 4/6 步：不动点关于乘积与取倒数封闭

上一步下一步

f(a)=a,\ f(b)=b \ \Rightarrow\ f(ab)=ab,\quad f\!\left(\tfrac1a\right)=\tfrac1a

详细分析

设 $f(a)=a$ , $f(b)=b$ 。在 (i) 中令 $x=a,y=b$ : $f(ab)=f(af(b))=bf(a)=ab$ ,故 $ab$ 也是不动点。令 $x=1/a, y=a$ : $1=f(1)=f(\tfrac1a f(a))=a f(\tfrac1a)$ ,得 $f(1/a)=1/a$ :不动点的倒数仍是不动点。