第1题

求所有定义在正实数集上、取正实数值的函数

f

,使其满足以下两个条件:(i) 对所有正实数

x, y

,都有

f(xf(y)) = yf(x)

;(ii) 当

x \to \infty

时,

f(x) \to 0

。

第 5/6 步：不存在异于

1

的不动点

上一步下一步

a>1 \text{ fixed} \ \Rightarrow\ f\!\left(a^{2^k}\right)=a^{2^k}\xrightarrow[k\to\infty]{} \infty

详细分析

假设存在不动点 $a\ne1$ ;必要时以 $1/a$ 代替 $a$ (第4步),不妨设 $a>1$ 。由第4步取 $b=a$ ,得 $a^2$ 也是不动点;如此重复,对任意 $k\ge0$ , $a^{2^k}$ 都是不动点。当 $k\to\infty$ 时 $a^{2^k}\to\infty$ ,故 $f(a^{2^k})=a^{2^k}\to\infty$ ,这与条件(ii)——当 $x\to\infty$ 时 $f(x)\to0$ ——矛盾。因此 $f$ 的唯一不动点是 $1$ 。