第1题

求所有定义在正实数集上、取正实数值的函数

f

,使其满足以下两个条件:(i) 对所有正实数

x, y

,都有

f(xf(y)) = yf(x)

;(ii) 当

x \to \infty

时,

f(x) \to 0

。

第 6/6 步：结论:

f(x)=1/x

上一步下一步

f(xf(x))=xf(x)=1 \ \Longrightarrow\ f(x)=\dfrac1x

详细分析

在 (i) 中令 $y=x$ ,得 $f(xf(x))=xf(x)$ ,故 $xf(x)$ 恒为 $f$ 的不动点。由第5步,唯一的不动点是 $1$ ,所以对所有 $x>0$ 有 $xf(x)=1$ ,即 $f(x)=1/x$ 。反之, $f(x)=1/x$ 满足两个条件: $f(xf(y))=f(x/y)=y/x=yf(x)$ ,且当 $x\to\infty$ 时 $f(x)=1/x\to0$ 。故 $f(x)=1/x$ 是唯一解。