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第2题

设 AA 是两个不等的共面圆 C1,C2C_1,C_2 的两个不同交点之一,圆心分别为 O1,O2O_1,O_2。一条公切线在 P1,P2P_1,P_2 处相切,另一条在 Q1,Q2Q_1,Q_2 处相切。设 M1,M2M_1,M_2 分别为 P1Q1,P2Q2P_1Q_1,P_2Q_2 的中点。证明 ∠O1AO2=∠M1AM2\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2。
第 2/5 步：利用切点弦
上一步下一步
OiMi⊥PiQi,OiMi⋅OiS=OiPi2=OiA2O_iM_i\perp P_iQ_i,\qquad O_iM_i\cdot O_iS=O_iP_i^2=O_iA^2
详细分析

关于 O1O2O_1O_2 的对称交换两条公切线,故交换 Pi,QiP_i,Q_i。因此 OiOjO_iO_j 是 PiQiP_iQ_i 的垂直平分线,MiM_i 在 O1O2O_1O_2 上。在直角三角形 S,Oi,PiS,O_i,P_i 中,由斜边高定理得 OiMi⋅OiS=OiPi2O_iM_i\cdot O_iS=O_iP_i^2。因 A,PiA,P_i 在 CiC_i 上,OiPi=OiAO_iP_i=O_iA。