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第4题

设 ABCABC 为等边三角形,E\mathcal E 为其三条边的并集。判断将 E\mathcal E 分成两个不交子集时,是否总有一个子集包含某个直角三角形的三个顶点,并说明理由。
第 3/5 步：选取循环投影的三点
上一步下一步
BC=3BU,U∈BC,U↦V∈CA↦T∈ABBC=3BU,\qquad U\in BC,\quad U\mapsto V\in CA\mapsto T\in AB
详细分析

因此可设每条边上每种颜色至少有两个点。取 U∈BCU\in BC 使 BC=3BUBC=3BU。令 V∈CAV\in CA 为 UU 在 CACA 上的正交投影,令 T∈ABT\in AB 为 VV 在 ABAB 上的正交投影。在等边三角形中,TT 在 BCBC 上的投影又是 UU;于是 UV⊥CAUV\perp CA、VT⊥ABVT\perp AB,形成标准的循环构型。