第5题

假设 $i<j<k$ 且 $2a_j=a_i+a_k$。每个 $a_n$ 的三进制只含数字 $0,1$,所以 $2a_j$ 无进位且只含 $0,2$。同时 $a_i+a_k$ 也无进位,因为每个加数的 $3$ 进制各位只含 $0,1$。在每一位上,$2a_j$ 的 $0$ 迫使两个加数都为 $0$,$2$ 迫使两者都为 $1$。因此 $a_i=a_k$,与单射性矛盾。