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国际数学奥林匹克
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1983年
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第6题
第6题
设
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
为三角形的边长。证明
a
2
b
(
a
−
b
)
+
b
2
c
(
b
−
c
)
+
c
2
a
(
c
−
a
)
≥
0
a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0
a
2
b
(
a
−
b
)
+
b
2
c
(
b
−
c
)
+
c
2
a
(
c
−
a
)
≥
0
,并确定等号成立的条件。
第 1/5 步：作 Ravi 换元
上一步
下一步
a
=
y
+
z
,
b
=
z
+
x
,
c
=
x
+
y
,
x
,
y
,
z
>
0
a=y+z,\qquad b=z+x,\qquad c=x+y,\qquad x,y,z>0
a
=
y
+
z
,
b
=
z
+
x
,
c
=
x
+
y
,
x
,
y
,
z
>
0
详细分析
严格三角形不等式等价于存在正数
x
,
y
,
z
x,y,z
x
,
y
,
z
使
a
=
y
+
z
,
b
=
z
+
x
,
c
=
x
+
y
a=y+z,b=z+x,c=x+y
a
=
y
+
z
,
b
=
z
+
x
,
c
=
x
+
y
。这参数化了所有非退化三角形。
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