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国际数学奥林匹克
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1983年
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第6题
第6题
设
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
为三角形的边长。证明
a
2
b
(
a
−
b
)
+
b
2
c
(
b
−
c
)
+
c
2
a
(
c
−
a
)
≥
0
a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0
a
2
b
(
a
−
b
)
+
b
2
c
(
b
−
c
)
+
c
2
a
(
c
−
a
)
≥
0
,并确定等号成立的条件。
第 3/5 步：准备 Cauchy–Schwarz
上一步
下一步
x
y
3
+
y
z
3
+
z
x
3
=
(
y
x
y
z
)
2
z
+
(
z
x
y
z
)
2
x
+
(
x
x
y
z
)
2
y
xy^3+yz^3+zx^3=\frac{(y\sqrt{xyz})^2}{z}+\frac{(z\sqrt{xyz})^2}{x}+\frac{(x\sqrt{xyz})^2}{y}
x
y
3
+
y
z
3
+
z
x
3
=
z
(
y
x
y
z
)
2
+
x
(
z
x
y
z
)
2
+
y
(
x
x
y
z
)
2
详细分析
将每项写成平方除以正变量的形式。分母之和为
x
+
y
+
z
x+y+z
x
+
y
+
z
,分子之和为
x
y
z
(
x
+
y
+
z
)
\sqrt{xyz}(x+y+z)
x
y
z
(
x
+
y
+
z
)
。
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