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第6题

设 a,b,ca,b,c 为三角形的边长。证明 a2b(a−b)+b2c(b−c)+c2a(c−a)≥0a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0,并确定等号成立的条件。
第 4/5 步：应用 Engel 形式 Cauchy–Schwarz
上一步下一步
xy3+yz3+zx3≥(xyz(x+y+z))2x+y+z=xyz(x+y+z)xy^3+yz^3+zx^3\ge\frac{\bigl(\sqrt{xyz}(x+y+z)\bigr)^2}{x+y+z}=xyz(x+y+z)
详细分析

由 Cauchy–Schwarz,∑ui2/vi≥(∑ui)2/∑vi\sum u_i^2/v_i\ge(\sum u_i)^2/\sum v_i。对第3步应用即得所需不等式,所以原式非负。